運動方程式の簡単な数値計算

　物体に働く力がどのようなものかわかれば運動方程式によって、その物体の加速度を求めることができる。 たとえば、その運動が等加速度運動であれば、等加速度運動の式を使って、物体の速度や位置を計算することもできる。 したがって、基本的には加速度がわかれば物体の運動がわかったと考えてよい。 しかし、実際には加速度が少し複雑な形をしていると、加速度の式から運動状態を直感的にとらえるのは難しくなる。（解析的に解くことができない場合もある。） このようなとき、数値的に運動の様子を計算することも行われる。 ここでは、もっとも簡単な方法で運動を数値的に計算してみることにする。

【目的】

　物体の加速度は物体の１秒あたりの速度変化を表わしている。 したがって、ごく短い時間Δｔ秒の間加速度はほぼ一定と考えられるとすれば、この間の物体の速度変化はであり、現在の速度がわかれば、Δｔ秒後の物体の速度は、と近似できる。

　同じように、速度は物体の１秒あたりの位置の変化を表わすので、ごく短い時間Δｔ秒の間速度がほぼ一定と考えられるとすれば、この間の位置の変化はである。 したがって、現在の物体の位置にをたせば、Δｔ秒後の物体の位置が求まる。

【方法】

　図のように物体がＡ点からＢ点まで動いたとする。

このとき、Ａ点での物体の速度を、Ｂ点での速度をとすると物体の変位はそのどちらでもなく、中間の速度（中央時刻の速度と呼ぶことにする）に時間をかけたものに近いと考えられる。 そこで、Ａ点での加速度を求め、それから中央時刻の速度を求め、それを使って物体をＢ点に動かし、Ｂ点での加速度を求める… というプログラムを使うことにする。 計算機はベクトルをそのまま計算することはできないので、実際はｘ成分とｙ成分に分けて計算する。 ここではｘ成分について説明する。

　具体的には、プログラムでは（どの言語でも基本的には同じ）

�@運動方程式（物理法則）から加速度のｘ成分を求め、axに代入する。

ax＝（物理法則から計算した加速度のｘ成分）

�A現在の速度のｘ成分axにaxと時間間隔DTとかけたものをたして、その結果をもとのvxに代入する。（等加速度運動と近似して計算する。）

vx = ax * DT + vx; 注、一般に、＊は×を表わす。

このとき、最初だけDTを半分（例えば計算に使う時間間隔dtをdt＝0.01にするとすれば、DT = 0.005）にしておき、速度の時間を半分だけずらす。

�B現在の位置xにvxとdt（例えば0.01）をかけたものをたして、その結果をxに代入する。

x = vx * dt + x;

vxが最初半分ずれた時刻で計算してあるので、速度は常に中央時刻の速度になる。

�C現在の時刻tにdtをたしたものをtに代入する。（時刻をdtすすめる）

t += dt; 　注、t = t + dtをこのように書く。

�D計算結果を表示して、最初に既に半分ずれているので、DT = dt; とし、これ以上ずれないようにした上で、�@に戻る。

という手順で計算をすすめる。